Створено метод розв'язання плоских контактних задач теорії пружності для однорідних і складених тіл довільної форми з різними умовами контакту з використанням методу R-функцій на базі варіаційного принципу Рейсснера. Запропоновано ітераційний метод пошуку невідомих областей контакту з використанням двох критеріїв, стаціонарні значення функціоналу Рейсснера відшукуються за методом Рітца. Побудовано структури розв'язків контактних задач, які точно задовольняють усім межовим та контактним умовам і дозволяють використовувати інформацію про особливості рішень та відомі точні розв'язки для канонічних областей. Запропоновано критерії достовірності та точності розв'язків. Одержано розв'язки контактних задач для однорідних тіл з неутримуючими ідеальними жорсткими в'язями та двошарових тіл за умов ідеального та неідеального контакту між шарами. Досліджено вплив геометричних та фізичних параметрів на їх напружено-деформований стан. Визначено лінійну податливість опорного вузла колінчастого вала дизеля Д80.

         Розроблено методику, яка дозволяє на основі інтегрального перетворення типу Мелера - Фока розв'язувати мішані крайові задачі теорії потенціалу в клиноподібних областях та теорії пружності для тіл із клиноподібними тріщинами. У межах даної методики побудовано точні розв'язки задач теорії потенціалу для просторових тіл у формі зігнутої клиноподібної пластини та тригранного кута і задач теорії пружності для простору з однією або двома внутрішніми клиноподібними тріщинами та нестислового півпростору з розрізом на чверті площини, ребро якого перпендикулярне поверхні півпростору. Досліджено особливості електростатичного поля та поля напружень у кутових точках розглянутих тіл, а також встановлено залежності даних особливостей від геометричних параметрів тіл.

         Теоретично обгрунтовано проекційно-ітераційні методи розв'язання операторних рівнянь з необмеженими операторами та задачі умовної мінімізації функціоналів у гільбертових просторах. Показано можливість застосування нових методів для розв'язання крайових задач теорії пружності. Запропоновано проекційно-ітераційну модифікацію узагальненого методу моментів, що базується на методі мінімальних похибок. Доведено теореми про збіжність, наведено оцінки похибок наближених розв'язків. Побудовано загальну схему проекційно-ітераційних методів розв'язання задач умовної мінімізації функціоналів, у межах якої обгрунтовано проекційно-ітераційні варіанти методів релаксації, проекції градієнта, умовного градієнта та спряжених градієнтів. Показано високу обчислювальну ефективність запропонованих модифікацій проекційно-ітераційних методів для розв'язання плоских, просторових і некласичних контактних задач теорії пружності з ідеальними односторонніми в'язями. Проведено комп'ютерне (проекційно-ітераційним варіантом методу скінченних елементів) та експериментальне (методом фотопружності) дослідження для визначення напружень у стиснутій ізотропній пластинці з прямокутним отвором, які свідчать про достовірність одержаних результатів. Розроблено алгоритми та комплекси програм для ЕОМ, наведено рекомендації щодо застосування проекційно-ітераційних методів для розв'язання задач механіки деформівного твердого тіла.

         Досліджено питання розв'язання задачі інтерполяції функцій двох змінних з використанням класичних методів Ньютона та Лагранжа і самоподібних перетворень у тривимірному просторі. Удосконалено метод інтерполяції Ньютона для тривимірного простору та поширено його на різні типи різниць. Розроблено метод інтерполяції Лагранжа для функцій двох змінних та метод інтерполяції самоподібними множинами у тривимірному просторі. На підставі запропонованих різницевих методів, методу Лагранжа для функцій двох змінних та інтерполяції самоподібними перетвореннями у тривимірному просторі розроблено відповідні алгоритми. Описано методику використання програмного забезпечення та шляхи його подальшого вдосконалення. Відзначено, що розроблені методи й алгоритми інтерполяції просторових кривих та поверхонь доцільно використовувати у різноманітних задачах обробки даних: обробки зображень у тривимірному просторі, розрахунку траєкторії об'єктів.

         Дисертацію присвячено удосконаленню методів розв'язання та побудові самих розв'язків нових контактних задач для пружного півпростору, просторових та плоских задач для пружних тіл, що містять порожнини, отвори, включення та розрізи. Запропоновано методи розв'язання та одержано розв'язки наступних задач: 1) контактної задачі про вплив навантаження на контактне напруження під концентричним кільцевим штампом; 2) контактної задачі про тиск без тертя на пружний півпростір ексцентричного кільцевого штампу; 3) контактної задачі для декількох, зокрема двох, кругових штампів, які без тертя втискуються в пружний півпростір; 4) задачі про рівновагу площини з круговим отвором та одним чи двома гіперболічними вирізами, зокрема, прямолінійними напівнескінченними розрізами; 5) контактної задачі кручення круговим штампом пружного півпростору з параболоїдальним пружним ядром; 6) першої основної задачі про деформацію пружного простору зі сферичною та параболоїдальною порожнинами. Метод розв'язання усіх задач базується на теоремах додавання розв'язків рівняння Лапласа та системах рівнянь Ламе. Більшість з даних теорем одержано вперше.

         В дисертації розроблено нові математичні методи для розв'язування крайових задач теорії аналітичних функцій, які дозволили розширити коло задач теорії пружності, ефективно розв'язуваних за допомогою перетворення Фур'є. На їх основі запропоновано та застосовано на практиці комбінований метод розв'язування мішаних задач теорії пружності: задачі кручення стрижнів довільного перерізу з частковим і повним підкріпленням, бігармонічні задачі для лунки і клину, контактні задачі для нескінченного циліндру і півплощини. Завдяки цьому, в роботі одержано результати, які істотно розширюють теоретичну і практичну основу для дослідження проблем міцності та надійності деталей машин і споруд.

         Розроблено новий метод для розв'язання задач стійкості та коливань ортотропних пластин, навантажених у своїй площині, та дослідження закритої поведінки пластин довільної форми в плані. Запропонований метод базується на спільному застосуванні варіаційних методів і теорії R-функцій. Для розв'язання задач стійкості при неоднорідному докритичному стані та коливаннях пластин розроблено метод, що містить динамічний і статичний підходи. Розвинено конструктивні засоби теорії R-функцій у вигляді побудованих структурних формул щодо функцій переміщень, які задовольняють усі або лише головні крайові умови. Розроблено програмне забезпечення, що дозволяє розв'язувати широкий клас задач стійкості та коливань ортотропних пластин при неоднорідному докритичному стані, а також дослідити їх закритичну поведінку. Ефективність та достовірність запропонованого методу підтверджена числовими розрахунками, які порівнювались з точними розв'язками або отриманими іншими методами. Знайдено значення критичного навантаження, власні частоти та форми коливань, а також досліджено закритичну поведінку конкретних елементів тонкостінних конструкцій у разі зміни їх форми, матеріалу, умов навантаження та закріплення країв.

         Розроблено новий асимптотичний метод побудови та дослідження розв'язків мішаних крайових задач згину нелінійної теорії прямокутних пластин. Уперше побудовано розв'язки крайових задач згину пластин з урахуванням видовження серединної поверхні на базі моделей Кірхгофа - Бергера за умов пружного закріплення контуру. Побудовано нові розв'язки задач циліндричного згину пластин рівномірним та змінним навантаженням з урахуванням видовження серединної поверхні для крайових умов пружного закріплення протилежних країв контуру. Показано, що у даному випадку запропонований метод дає змогу одержати розв'язки, які збігаються з точними. З застосуванням запропонованого методу побудовано розв'язки нових нелінійних крайових задач згину пластин рівномірним навантаженням з урахуванням видовження серединної поверхні для крайових умов шарнірного обпирання, жорсткого защемлення протилежних країв, а також у разі жорсткого защемлення контуру пластини. Побудовано розв'язок нелінійної крайової задачі згину пластини симетричними та несиметричними моментами, прикладеними на контурі пластини. Побудовано розв'язок нової нелінійної крайової задачі згину пластини з урахуванням видовження серединної поверхні за умов пружного закріплення контуру. Проведено дослідження розв'язків, одержаних запропонованим методом, шляхом порівняння з відомими розв'язками, а також з точними розв'язками модельних задач, на підставі якого показано достатню точність запропонованого підходу.

         Розроблено методи й алгоритми формування графічної інформації для побудови візуальних образів основних геометричних властивостей інженерно-геометричних об'єктів, заданих функціями двох змінних. Запропоновано алгоритм розбивки прямокутної області визначення функції, що підвищує якість візуалізації за рахунок застосування рекурсії та радіального підходу. Створено метод візуального відображення результатів аналізу функцій з використанням принципів реконструкції графічної інформації реалістичного образу. Розроблено автоматизовану інформаційну систему формування графічної інформації для візуалізації та обробки геометричних властивостей поверхні об'єктів, заданих аналітично за допомогою функції двох змінних.