Побудовано й обгрунтовано числові методи для прямих і обернених задач з використанням інтегральних рівнянь, згідно з якими для наближеного розв'язання початково-крайових задач у необмежених областях спочатку здійснюється їх часткова дискредизація за методом Роте або шляхом перетворення Лагерра, а далі стаціонарні межові задачі редукуються до межових інтегральних рівнянь. За цього повна дискретизація здійснюється за методом квадратур з використанням тригонометричних квадратурних формул. Цей підхід застосовано для розв'язання важливих задач гідромеханіки, механіки суцільного середовища та дифракції пружних хвиль; еволюційні задачі для рівнянь з першою та другою похідними за часом на многовиді розв'язуються шляхом комбінації перетворення Келлі (або перетворення Лагерра) та методу інтегральних рівнянь. Розглянуто задачу поширення гравітаційних хвиль у каналі з вільною поверхнею. Досліджено єдність розв'язків обернених еволюційних задач реконструкції та диференційованість відповідних нелінійних операторів за межею області. Для наближеного розв'язання розвинуто методи регуляризації Ньютона і Ландвебера у поєднанні з методом межових інтегральних рівнянь.

         З застосуванням методу інтегральних рівнянь здійснено числове моделювання руху нерелятивістського пучка заряджених частинок у самоузгодженому електричному полі. Запропоновано математичну модель, яка відповідає розімкненим кусково-гладким ідеально провідним зарядженим поверхням, розроблено та теоретично обгрунтовано числовий алгоритм розв'язування самоузгодженої задачі, що дає змогу обчислювати високоградієнтні поля. Задачу розв'язано з використанням методу послідовних наближень за просторовим зарядом, який змодельовано за методом трубок струму. Визначено скалярний електричний потенціал, який є розв'язком задачі Діріхле для рівняння Пуассона, у вигляді різниці потенціалів простого шару та об'ємного, базуючись на розв'язку еквівалентного інтегрального рівняння. Розглянуто поле просторових конфігурацій та вісесиметричне поле: побудовано та теоретично обгрунтовано наближені схеми розв'язування відповідних одно- та двовимірного інтегральних рівнянь. Рух заряджених частинок змодельовано з застосуванням методу типу предиктор-коректор. Дієвість методики перевірено шляхом проведення обчислювальних експериментів і порівнянням результатів з відомими теоретичними чи експериментальними.

         Розроблено метод визначення аерогідродинамічних характеристик тілесного профілю у несталому потоці в'язкої нестисливої рідини, розташованого поблизу поверхні розподілу тілесного профілю в'язким потоком нестисливої рідини. Поверхня моделюється нерухливою межею з природними межовими умовами "прилипання" потоку. Одержано адекватну поставленому завданню систему межових інтегральних рівнянь. Досліджено потенціали нових типів, узагальнюючих відомий клас сингулярних інтегралів типу Коші, а також для нових фундаментальних рішень оператора Клейна - Гордона - Фока. Побудовано квадратурно-інтерполяційний метод розв'язання одержаної системи межових інтегральних рівнянь. Одержано аерогідродинамічні характеристики тілесного профілю, які добре збігаються з експериментальними даними.

         Розглянуто клас рекурсивних методів, наведено алгоритм вибору ефективного, в сенсі кількості обчислень, методу для розв'язування конкретної задачі. Запропоновано нову модифікацію методу Ньютона (прискорений метод Ньютона), яка для певного класу задач ефективніша за метод Ньютона, досліджено новий диференціальний аналог методу Стеффенсена. Розроблено цілісну теорію побудови методів типу Ньютона. Наведено рекомендації щодо чисельної реалізації методів із збереженням допустимого (теоретичного) порядку збіжності. Запропоновано нові модифікації методу Гаусса-Ньютона для розв'язування задач найменших квадратів, систем рівнянь та нерівностей, нові модифікації квазіньютонівських методів, які покращують їх обчислювальні характеристики, а також нові модифікації методу Ньютона, які можна застосовувати для розв'язування задач мінімізації у випадку функцій типу яру.

         Одержано деякі загальні умови, достатні для існування розв'язків з обмеженим ростом для лінійних сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь з негативними операторами та наслідки для диференціальних рівнянь з відхиленням аргументів. Доведено теорему існування та локалізації розв'язків сингулярної задачі Коші для нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з незростаючими операторами. Виявлено загальні умови, достатні для існування й єдиності (з точністю до значення в кінці інтервалу) розв'язків з обмеженим ростом для систем лінійних сингулярних функціонально-диференціальних рівнянь з негативними операторами. Доведено оптимальність одержаних умов і деякі наслідки для систем рівнянь з відхиленням аргументів.

         Наведено розв'язки задач з нелокальними крайовими умовами за часовою змінною для рівнянь і систем рівнянь із частинними похідними першого порядку за часовою змінною і нескінченного порядку за простровими змінними зі сталими коефіцієнтами. Розв'язки даних задач побудовано за допомогою диференціально-символьного методу. Виділено класи існування й єдності розв'язків задач з нелокальними крайовими умовами за часовою змінною для рівняння та системи рівнянь із часовими похідними у класах квазіполіномів, а в окремих випадках - у класах цілих аналітичних функцій з повними обмеженнями на порядок зростання. За допомогою дифренціально-символьного методу побудовано розв'язки даних задач, а також досліджено їх ядра у класі квазіполіномів. Для випадку існування неєдиного розв'язку задачі для квазіполіномних правих частин рівнянь та умов розроблено алгоритм побудови часткових розв'язків.

         На підставі рівнянь класичної теорії пологих оболонок виведено системи розв'язання диференціальних рівнянь у частинних похідних зі змінними коефіцієнтами, які описують вільні коливання ортотропних пластин і пологих оболонок з прямокутним планом змінної товщини. Запропоновано різні варіанти крайових умов на контурах пластин і пологих оболонок в такій формі, що дозволяє провести апроксимацію розв'язків з використанням В-сплайнів третього та п'ятого ступенів. Розроблено ефективний підхід щодо розв'язання задач про вільні коливання ортотропних пластин і пологих оболонок з прямокутним планом змінної товщини для різних варіантів крайових умов, який базується на сплайн-апроксимації розв'язків в одному з координатних напрямків, що дозволяє звести двовимірну крайову задачу до одновимірної задачі на власні значення, яка розв'язується стійким числовим методом дискретної ортогоналізації у поєднанні з методом покрокового пошуку. Відповідний алгоритм реалізовано в програмному комплексі на ПК. Здійснено розв'язання задач даного класу та досліджено вільні коливання ортотропних пластин і пологих оболонок з прямокутним планом у разі зміни геометричних і механічних параметрів та крайових умов. Виявлено ряд закономірностей у розподілі частот і форм вільних коливань пластин і пологих оболонок.

         З використанням метричного підходу досліджено задачі з багатоточковими умовами за часовою змінною для рівнянь з частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом в обмежених областях: лінійних рівнянь та систем рівнянь зі сталими коефіцієнтами з довільним еліптичним оператором при старшій похідній за часом; лінійних рівнянь зі змінними за просторовими координатами коефіцієнтами в циліндричних областях; лінійних рівнянь зі змінними за x коефіцієнтами, збурених нелінійним інтегро-диференціальним виразом; рівнянь з псевдодиференціальними операторами. Доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникають під час побудови розв'язків розглядуваних задач. Побудовано розв'язки та встановлено класи однозначної розв'язності багатоточкових задач для гіперболічних рівнянь у необмеженій області.

         Досліджено питання підвищення якості знань учнів на підставі впровадження методичної системи складання та розв'язування фізичних задач. Висвітлено розвиток методики їх складання та розв'язування відповідно до стандартів фізичної освіти в Україні. Визначено дидактичні принципи та методичні вимоги до змісту та розв'язування фізичних задач у середній загальноосвітній школі. Досліджено доцільність використання комп'ютерних програм під час складання та розв'язування фізичних задач. Розроблено методику визначення рівнів розвитку конвергентного та дивергентного мислення учнів за допомогою спеціальних тестів, завдання для яких підбираються з урахуванням психолого-педагогічних ресурсів підходу до задач у навчанні фізики. Наведено критерії, за якими оцінюється складність і важкість фізичної задачі, ступінь самостійності дій учнів під час її розв'язування, рівні розуміння задачі учнями. Окреслено основні напрямки розвитку методики складання та розв'язування фізичних задач у даній моделі, розкрито системний підхід до процесу складання та розв'язування фізичних задач і необхідність використання нових інформаційних технологій навчання.